Trang chủ > Giải tích 12 > Các phương pháp giải PT mũ và lôgarit 1

Các phương pháp giải PT mũ và lôgarit 1


Đối với một số phương trình mũ và lôgarit, chúng ta không thể sử dụng cách đưa về cùng một cơ số. Khi đó, ta có thể đặt ẩn phụ để được phương trình hoặc hệ phương trình đại số thông thường.
Chú ý. Khi đặt ẩn phụ, ta nên tìm điều kiện của ẩn phụ (tuỳ thuộc vào điều kiện của ẩn cần tìm).
Ví dụ 1. Giải các phương trình mũ sau
a) 2^{2x+1}-2^{x+3}=64;
b) e^{2x}-4e^{-2x}=3;
c) 6.4^\frac{1}{x}-13.6^\frac{1}{x}+6.9^\frac{1}{x}=0;
d) 8^x+18^x=2.27^x.
Lời giải.

a) Phương trình đã cho tương đương với
2.(2^x)^2-2^3.2^x=64\Leftrightarrow (2^x)^2-4.2^x-32=0.
Đặt t=2^x  (t>0) thì phương trình trở thành t^2-4t-32=0. Đây là phương trình bậc hai với ẩn t, ta tìm được t=8 hoặc t=-4. Tuy nhiên t>0 nên chỉ có t=8 là thoả mãn. Thay lại để tìm x, ta có
2^x=8\Leftrightarrow 2^x=2^3\Leftrightarrow x=3.
Vậy phương trình chỉ có một nghiệm x=3.
b) Đặt t=e^{2x}  (t>0), ta có phương trình
t-\dfrac{4}{t}=3\mbox{  hay  } t^2-3t-4=0.
Phương trình bậc hai ẩn t này chỉ có một nghiệm dương t=4, suy ra e^{2x}=4\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\ln 4.
c) Điều kiện x\not=0. Chia cả hai vế của phương trình cho 6^\frac{1}{x}>0, ta có
6.\Big (\dfrac{3}{2}\Big )^\frac{1}{x}-13.1+6.\Big (\dfrac{2}{3}\Big )^\frac{1}{x}=0.
Đặt t=\Big (\dfrac{3}{2}\Big )^\frac{1}{x} \ (t>0), phương trình trở thành
6t-13+\dfrac{6}{t}=0\mbox{  hay  } 6t^2-13t+6=0.
Phương trình bậc hai trên có hai nghiệm dương t=\dfrac{3}{2}; t=\dfrac{2}{3}.

Với t=\dfrac{3}{2} thì \Big (\dfrac{3}{2}\Big )^\frac{1}{x}=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}=1\Leftrightarrow x=1.

Với t=\dfrac{2}{3} thì \Big (\dfrac{3}{2}\Big )^\frac{1}{x}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}=-1\Leftrightarrow x=-1.
Phương trình có hai nghiệm x=1; x=-1.
d) Phương trình đã cho tương đương với
2^{3x}+2^x.3^{2x}=2.3^{2x}\Leftrightarrow \Big (\dfrac{2}{3}\Big )^{2x}+\Big (\dfrac{2}{3}\Big )^{x}-2=0.
Đặt t=\Big (\dfrac{2}{3}\Big )^{x} (t>0) thì phương trình trở thành
t^3+t-2=0\mbox{  hay  } (t-1)(t^2+t+2)=0.
Do t^2+t+2=\Big (t+\dfrac{1}{2}\Big )^2+\dfrac{7}{4}>0 nên t-1=0 hay t=1. Từ đó suy ra \Big (\dfrac{2}{3}\Big )^{x}=1=\Big (\dfrac{2}{3}\Big )^0\Leftrightarrow x=0.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=0.

Chuyên mục:Giải tích 12 Tags:
  1. Chưa có phản hồi.
  1. No trackbacks yet.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: