Trang chủ > Giải tích 12 > Sử dụng tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức

Sử dụng tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức


Bài tập. Giả sử a,b,c,d là các số thực dương sao cho a+b+c+d=1. Chứng minh rằng
6(a^3+b^3+c^3+d^3)\geqslant (a^2+b^2+c^2+d^2)+\dfrac{1}{8}.


Giải. Ta có 0<a,b,c,d<1. Xét hàm số f(x)=6x^3-x^2 (Do dấu bằng xẩy ra khi a=b=c=d=1/4  nên ta xét đồ thị của f(x) và tiếp tuyến của nó tại x=1/4. Dễ thấy, trên khoảng (0;1), tiếp tuyến nằm dưới đồ thị f(x). Bây giờ, phương trình của tiếp tuyến tại x=1/4y=(5x-1)/8). Vì vậy, ta suy ra với 0<x<1,f(x)=6x^3-x^2\geqslant (5x-1)/8. Điều này tương đương với 48x^3-8x^2-5x+1\geqslant 0\Leftrightarrow (4x-1)^2(3x+1)\geqslant 0, \forall 0<x<1. Do  đó, f(a)+f(b)+f(c)+f(d)\geqslant 5(a+b+c+d)/8-4/8=1/8 .

Chuyên mục:Giải tích 12
  1. Chưa có phản hồi.
  1. No trackbacks yet.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: