Trang chủ > Giải tích 12 > Các phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số

Các phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số


Phương pháp hàm số
\qquad Dùng đạo hàm để khảo sát hàm số, sau đó lập bảng biến thiên (nếu cần thiết) để từ đó giải quyết bài toán.Vì chúng ta chỉ khảo sát hàm số 1 biến nên để dùng được phương pháp này đôi khi phải thực hiện những phép biến đổi thích hợp để làm giảm số lượng biến, chẳng hạn, tính các biến còn lại theo một biến, đặt ẩn phụ.

Chú ý. Khi sử dụng phương pháp này nếu có các phép đổi biến thì ta phải tìm lại miền xác định.
Các ví dụ
Ví dụ 1.
Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=\dfrac{x+1}{x^2+x+1}.
Lời giải. Tập xác định của hàm số là D=\mathbb{R}. Ta có
y'=\dfrac{-x^2-2x}{(x^2+x+1)^2}.
Do đó y'=0\Leftrightarrow x=0; x=-2. Ta có bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên suy ra

GTLN của hàm số là \max y=y(0)=1.

GTNN của hàm số là \min y=y(-2)=-\dfrac{1}{3}.

Ví dụ 2.
Tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x)=\sqrt{1+2\cos x}+\sqrt{1+2\sin x} trên miền
D=\{x: 1+2\cos x\ge 0; 1+2\sin x\ge 0 \}.
Lời giải.
Do f(x)\ge 0, \forall x\in D nên việc tìm GTLN, GTNN của f(x) có thể quy về tìm GTLN, GTNN của f^2(x).
Xét g(x)=f^2(x)=1+2\cos x+1+2\sin x+2\sqrt{1+2(\sin x+\cos x)+4\sin x\cos x}.
Đặt t=\sin x+\cos x thì t=\sqrt{2}\cos \Big (x-\dfrac{\pi}{4}\Big ). Ta có
1+2\cos x\ge 01+2\sin x\ge 0\Leftrightarrow  \cos x\ge\dfrac{-1}{2}\sin x\ge\dfrac{-1}{2}
\Leftrightarrow \dfrac{-\pi}{6}+2k\pi\le x\le \dfrac{2\pi}{3}+2k\pi (k\in\mathbb{Z} )
\Leftrightarrow \dfrac{-5\pi}{12}+2k\pi\le x-\dfrac{\pi}{4}\le \dfrac{5\pi}{12}+2k\pi
\Leftrightarrow \cos (\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi)\le \cos (x-\dfrac{\pi}{4})\le 1
\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\le\cos (x-\dfrac{\pi}{4})\le 1
\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{2}\le t\le \sqrt{2}.
Vậy bài toán quy về xét hàm h(t)=2+2t+2\sqrt{2t^2+2t-1} trên miền \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{2}\le t\le \sqrt{2}.
Ta có h'(t)=2+2.\dfrac{2t+1}{\sqrt{2t^2+2t-1}}\geqslant 0 với mọi \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{2}\le t\le \sqrt{2}.
Do đó h(t) đồng biến trên D_1=\Big [\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{2};\sqrt{2} \Big ]. Suy ra
\min h(t)=h\Big (\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{2}\Big )=\sqrt{3}+1
\max h(t)=h(\sqrt{2})=4(\sqrt{2}+1).
Do mỗi t\in D_1 đều tồn tại x\in D nên
\min g(x)=\sqrt{3}+1
\max g(x)=4(\sqrt{2}+1).

About these ads
Categories: Giải tích 12 Thẻ:,
  1. Kien
    26/10/2009 lúc 1:49 sáng

    Xin cam on dong chi to truog da cho chug toi co 1 dien dan de hoc hoi va tham khao.

  2. Khách
    25/09/2010 lúc 3:52 chiều

    tại sao không tính trực tiếp
    Hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2pi , nên ta chỉ cần xét trên doạn [-pi/6,2pi/3] , tính trực tiếp đạo hàm , y’=0 , chọn x=pi/4
    tính các giá trị của hàm số tại pi/4, -pi/6, 2pi/3 , kết luận

  1. No trackbacks yet.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: